Boxcar 平均技术原理

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在光学与光子学、纳米技术与材料科学、量子技术、扫描探针显微镜和传感领域，对低占空比脉冲信号进行高质量捕获以及实时反馈至关重要。Boxcar 平均器提供极具吸引力的性能，在处理低占空比信号时，可用极短的测量时间实现高信噪比 (SNR) 测量。在低占空比信号中，每个周期中只有很少一部分包含有效信息；而在有效区间之外只存在噪声。Boxcar 平均器在每个周期中仅从明确定义的时间窗内捕获信号，而该时间窗外的所有信号都会被屏蔽。

与数字转换器或示波器不同，Boxcar 平均器可在数字域中立即获得测量结果，并以用户自定义偏移量和缩放系数输出为模拟信号。此外，集成的 PID 控制器可以实时处理 Boxcar 结果，以构建反馈回路；如果 Boxcar 结果中存在额外调制，也可通过锁相放大器单元执行解调。

在本白皮书中，我们对数字 Boxcar 平均器的工作原理、相关测量参数和技术发展现状进行了全面介绍，并针对处理周期性信号时如何选择最佳测量技术提供了指南。

在典型的周期性脉冲信号中，有效信息包含在持续时间为 T_p 的短脉冲中，各脉冲之间存在一段较长的等待时间，如图 1 (a) 所示。信号特征可表示为占空比 d = T_p/T_rep，其中 T_rep = 1/f_rep 是脉冲重复频率 f_rep 的倒数。如果占空比低，则在长时间连续测量时，各脉冲之间的间隔时间中只能捕获到噪声，而没有信号，从而导致低 SNR。

采用 Boxcar 平均器，可以仅在脉冲持续时间内采集信号，忽略脉冲之间的时间间隔。其工作原理为，首先将输入信号与 Boxcar 函数（即一列矩形脉冲）相乘，如图 1 (b) 所示。然后，通过匹配 Boxcar 函数的周期 T_rep、Boxcar 窗宽 T_box 及其相对于信号脉冲的位置，消除信号脉冲之间的噪声，如图 1 (c) 所示。之后，对持续时间 T_box 内的信号做积分。最后，对 N 个周期内的积分信号取平均值，如图 1 (d) 所示。

Boxcar 窗口

Boxcar 平均器的重复频率由输入信号的重复频率决定，而 Boxcar 窗口和取平均值的周期数可进行调整，以便优化 SNR。

在优化 SNR 时，Boxcar 窗宽 T_box 及其相对于信号脉冲的位置是非常重要的参数。假设噪声为白噪声，对于已知的脉冲形状和重复频率，可计算出理想的 Boxcar 窗宽。图 2 (a) 显示了周期性信号的一个周期，脉冲为高斯脉冲 p(t) = A exp(-0.5t²/σ²)，其中σ = 0.04T_rep 为均方根宽度。我们现在可以计算，在窗宽为 T_box 的 Boxcar 窗口内对信号做积分时，所捕获的信号成分 s_box。对于以高斯脉冲为中心的矩形 Boxcar 窗口，s_box 的计算公式为：

\[\mathrm{s_{box}=\int_{-T_{box}/2}^{T_{box}/2}p(t)dt}\]

信号成分会随着 T_box 而增加，直到捕获到完整的脉冲。不过，所捕获的噪声也随着 T_box 而增加。如果噪声为白噪声，所捕获噪声 n_box 随着 Boxcar 窗宽的平方根呈比例增加，即 n_box \(\mathrm{\propto}\) √T_box.

图 2 (b) 显示了 s_box、n_box 和 SNR = s_box/n_box 与 T_box 的函数关系。在本例中，如果捕获整个周期，即当 T_box = T_rep时，信号与噪声的比例为 SNR = 0.6。可以观察到，所捕获的信号随着 Boxcar 窗宽而增加，直到 Boxcar 窗口捕获到完整脉冲，其幅值接近 1。一旦信号被完全捕获，鉴于 Boxcar 窗口之外的噪声都被屏蔽，SNR 以 √(T_rep/T_box) 的趋势变化。为实现最高 SNR，可选取一个未捕获完整脉冲的 Boxcar 窗口。在本例中，当捕获 84% 的信号时，SNR 最高，对应于 T_box ≈ 2.8σ ≈ 0.11T_rep，如图 2 (a) 所示。

在实际测量中，为了方便地优化 SNR，可以先从较大的 Boxcar 窗口开始，然后缩减窗宽，直到 SNR 达到峰值。

取平均值的周期数

在去除脉冲之间的噪声成分后，在每个 Boxcar 窗口持续时间内对信号做积分，然后使用移动平均滤波器对多个周期取平均值。相比定义平均时间 T_avg，更便捷的方法是定义对信号取平均值的 Boxcar 周期数  N = T_avg/T_rep。假设底噪为白噪声并采用理想的 Boxcar 窗口，所捕获的信号随着 N 呈线性增加，而噪声贡献随着所捕获噪声平方和的平方根而增加。因此，对于 N 个 Boxcar 周期，SNR 计算公式为：

\[\mathrm{SNR = \frac{\sum_{i=1}^{N}s_{box}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}{n^2_{box}}}}=\frac{Ns_{box}}{\sqrt{N{n^2_{box}}}}=\frac{s_{box}}{n_{box}}\sqrt{N}}\]

其中，我们假设信号 s_box 和噪声 n_box 在各个周期内保持不变。

频谱响应

利用 Plancherel 定理 [1]，可在时域和频域内计算 Boxcar 平均器的输出 Out_box：

其中 B(t) 和 S(t) 分别表示时域中的 Boxcar 函数和输入信号，二者的傅里叶变换分别为 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{(\omega)}\) 和 \(\hat{\mathrm{S}}\mathrm{(\omega)}\)。考虑取平均值的的周期数有限，我们引入了\(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\) 作为 N 个脉冲的 Boxcar 函数的傅里叶变换。为了理解 Boxcar 平均器的频谱响应，下面将更详细地讨论 B(t)、\(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{(\omega)}\) 和 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\)。

首先，考虑对无限数量的周期取平均值，并依据傅里叶定理，周期性函数可以表示为正弦和余弦项之和。因此，Boxcar 函数 B(t) 可以表示为

\[\mathrm{B(t)=a_0 + }\sum_{\mathrm{m=1}}^{\mathrm{\infty}}\mathrm{a_m \cos(m\omega_0t)}\]

其中 B(t) 是偶函数，因此正弦项为零。

基频 ω₀ = 2π f_rep 由脉冲的重复频率决定。相应的系数 a₀ = d = T_box/T_rep 对应于占空比，而系数 a_m 的计算公式为：

因此，Boxcar 函数的傅里叶变换对应于基频 f_rep谐波处的一系列分立的峰值，并由系数 a_m 决定峰的权重。 等式 3 表明，Boxcar 平均器捕获了谐波频率所包含的信号，以及噪声，并有效屏蔽了其他频率成分。

如果对较多数量的周期取平均值，则 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\) 接近 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{(\omega)}\)。图 3 (a) 显示了周期数 N = 200 时的 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\) 示例，在谐波处出现几乎近似脉冲形的峰。傅里叶变换的包络，即由 a_m 给出的峰值权重，可定义为归一化 sinc 函数 sinc(x) = sin(π x)/(π x)，零点由 f/f_rep = 1/d 得出。为了说明占空比的影响，我们以三种不同的占空比值 d = 0.05、d = 0.1 和 d = 0.2 为例，计算了等式 5 的曲线（见图 3 (b)）。可以看出，低占空比会增加高次谐波成分的相对权重。

如果对较多数量的周期取平均值，则 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\) 的每个峰值可转变为一个 sinc 函数，其零点之间的距离由 f_rep/N 得出。图 3 (c) 显示了周期数 N = 5 时的 \(\hat{\mathrm{B}}\mathrm{_{N}(\omega)}\) 示例。虽然在谐波频率处捕获了信号成分，但 sinc 函数的旁瓣可能导致噪声成分泄漏到被捕获的信号中。因此，调整取平均值的周期数对于 SNR 至关重要。如果不取任何平均值，即在 N = 1 时，sinc 函数之和为单个 sinc 函数，对应于图 3 (b) 中所示的包络。

测量带宽 f_3dB 定义为信号衰减 3dB 的频率，对应于大约 0.71 的振幅。在 Boxcar 平均器中，f3_dB 可通过以零频率为中心的 sinc 函数的振幅衰减进行计算，公式如下：

\[\mathrm{sinc\left(\frac{N}{f_{rep}} f_{3dB}\right)} = \mathrm{\sqrt{10^{-3/10}} \approx 0.71},\]

其中，

\[\mathrm{ f_{3dB}}= \mathrm{c\,\frac{f_{rep}}{N}}\]

其中 c = sinc^-1(√(10^-3/10)) ≈ 0.44。测量带宽与取平均值的周期数 N 和重复频率 f_rep 呈线性相关。

时间响应

Boxcar 平均器的时间响应由计算 N 个周期的平均值的方法决定。对于移动平均滤波器，时间响应随时间呈线性变化，斜率由 N 确定，如图 3 (d) 所示。在信号改变后，需要经过 N 次脉冲才能完全稳定。在成像应用中，为实现像素之间的零串扰，每个像素的测量时间可选择一个大于等于 NT_rep 的值。数字Boxcar 平均器支持在 N 个周期的移动平均计算期间提供中间结果，从而持续监测信号。

Boxcar 参数及其影响的总结

• Boxcar 窗口：窗宽 T_box 及其位置决定所捕获的信号和噪声。假设噪声为白噪声，SNR 近似于随着 √(T_rep/T_box)而增加。当SNR最高时，窗宽通常小于输入信号脉冲的全宽。
• 取平均值的周期数 N：使用移动平均滤波器在 N 个周期内对积分信号取平均值。假设噪声为白噪声，SNR 随着 √N 成比例增加。
• 频谱响应：短的 Boxcar 窗口 T_box 会增加高次谐波贡献的相对权重。取平均值的周期数 N 决定了 sinc 函数在谐波处的峰值权重。
• 测量带宽 f_3dB 随着 f_rep/N 呈线性变化。
• 时间响应：Boxcar 平均器的响应随时间呈线性变化，斜率由取平均值的周期数 N 和重复周期 T_rep 决定。

1961 年，Blume 等人描述了 Boxcar 平均技术的原理。不久之后，首台模拟 Boxcar 平均器问世 [2]。近年来，具有高速度、高分辨率和高线性度的模数转换器发展迅速，推动了数字 Boxcar 平均器的实现，这类 Boxcar 平均器在快速现场可编程门阵列 (FPGA) 上实现数字信号处理，以数值方式进行所有计算。图 4 (a) 所示为瑞士苏黎世仪器公司的 UHF-BOX Boxcar 平均器，也是当今市场上唯一一款数字 Boxcar 平均器。它可实现零死区时间运行，重复频率高达 450 MHz，并提供额外功能，如周期性波形分析仪 (PWA) 和基线抑制。图 4 (b) 所示的 LabOne® 用户界面或应用程序编程接口 (API) 可用于控制和读取所有仪器的设置和测量参数。

表 1：模拟 Boxcar 平均器和数字 UHF-BOX Boxcar 平均器之间的对比。

模拟与数字仪器对比

模拟 Boxcar 平均器以触发器控制的门窗口为基础，对信号进行采集和积分，因此通常被称为门控积分器。这类平均器通过触发脉冲控制 Boxcar 窗口，因此可以同时处理周期性和非周期性输入信号脉冲。然而，由于需要一定时间来擦除积分器，触发器重新启动的时间可能长达几毫秒，对快速脉冲序列的测量构成了极大限制。此外，由于门信号存在上升时间，模拟 Boxcar 平均器的 Boxcar 窗口并非完美的矩形，而且对触发信号的依赖会导致抖动。数字 UHF-BOX Boxcar 平均器使用模数转换器对输入信号进行数字化；后续在数字域中执行与 Boxcar 函数的乘法和平均运算。这一过程可实现几乎完美的矩形 Boxcar 窗口，而且无死区时间。在这种情况下，信号的上升时间仅取决于输入带宽和采样频率，并且能够在非常高的重复频率下运行，而不造成信号丢失。图 5 (a) 所示为 UHF-BOX Boxcar 平均器的简化框图。在图中，信号被相位锁定到一个内部振荡器，从而能够根据相位定义 Boxcar 窗口。周期性信号的相位同步数据处理采用瑞士苏黎世仪器公司的专利技术，不受触发抖动和漂移影响 [3]。Boxcar 平均器的结果可在内部传递到其他工具，例如，如果信号的占空比进行了额外调制，则可传递到锁相放大器单元解调；或者如果要创建反馈回路，则可传递到内部 PID 控制器。对移动平均值的数字计算，可让用户获得 Boxcar 平均器输出的中间结果，并用于实现快速反馈回路。

表 1 总结了模拟 Boxcar 平均器和数字 UHF-BOX Boxcar 平均器之间的差异。

硬件要求

Boxcar 平均器从基频和许多谐波中捕获信息。要测量高次谐波，仪器的输入带宽至少为基频的数倍，以及更高的采样率。

周期性波形分析仪

如果信号淹没在噪声中，可能很难选出 Boxcar 窗口的宽度和位置。UHF-BOX Boxcar 平均器通过周期性波形分析仪 (PWA) 工具显示输入信号的单个周期，从而简化了这一过程。如果 SNR 较低，则可对多个周期的输入信号取平均值。如图 5 (b) 所示，根据参考振荡器的相位进行 Boxcar 窗口的定义。如果测量完整周期不足以分辨脉冲，PWA 可放大并仅测量完整周期的一小部分来提高分辨率：此时仪器利用参考振荡器的高次谐波作为参考。借助 PWA，用户还可以计算输入信号的快速傅里叶变换，从而显示和分析谐波相对于基频的权重。

基线抑制和算术运算

在 UHF-BOX Boxcar 平均器中，可以在脉冲之间的时间间隔设置一个参考窗口，由此可消除由于直流分量和变化的偏移量引起的误差，这称为基线抑制。基线抑制还可用于屏蔽相对于基频下的目标信号存在相移的干扰信号，例如电缆中的电子反射。如图 5 (b) 所示， PWA 参考窗口的位置可以自由选择。如果在实验中，关注的信息仅存在于特定的脉冲中，例如泵浦 – 探测光谱学中泵浦诱导的透射率变化，则适合利用参考窗口的功能。通过在时域中设置两个滤波窗口，可以成功分离单个信号分量。

UHF-BOX Boxcar 平均器具备两个独立的 Boxcar 单元，每个单元都具有基线抑制功能，同时还提供一个内置的算术单元。算术单元能够以任意缩放系数组合两个并行 Boxcar 单元的测量值，并实时提供计算结果，例如，在逐点测量 dI/I 时，可使用第二个 Boxcar 单元的测量值将结果归一化。

在某些应用中，不仅需要关注取积分的信号，脉冲的形状同样重要。要恢复周期性信号的波形，可采用以下工具：

• 带平均操作的示波器或数字转换器卡。
• 周期性波形分析仪。
• Boxcar 平均器结合 Boxcar 窗口位置扫描，扫描宽度远小于脉冲宽度。

如果输入信号的 SNR 相对较高，并且有可靠的触发源可用，则示波器或数字转换器卡通常是首选工具。在这种情况下，可使用触发信号在多个周期内对数字化输入信号取平均值；或者可以保存所有原始数据以便进行后处理。测量性能取决于仪器的规格，包括采样率、电压分辨率和存储深度。然而，对于低 SNR 的信号，需要对多个周期取平均值，在这种情况下，触发抖动和触发漂移将会成为限制因素。

对于低 SNR 的周期性输入信号，可使用 Boxcar 平均器重建波形。UHF-BOX Boxcar 平均器具有可变增益输入范围放大器，用于确保高灵敏度和低输入噪声，而且由于信号的相位锁定到内部振荡器，不会受到触发抖动和漂移的影响。在速度优先于时间分辨率的情况下，例如在选择 Boxcar 窗口时，上文介绍的 UHF-BOX Boxcar 平均器的 PWA 工具是首选方法。不过，时间分辨率固定为每周期 1024 个点，这可能会限制宽脉冲的测量。

另外，也可用一个短的 Boxcar 窗口对脉冲进行扫描的方式，来测量波形。在这种情况下，所选的 Boxcar 窗宽应远小于脉冲宽度，如图 5 (c) 所示。采用这种方法，可通过屏蔽 Boxcar 窗口外的噪声成分来提高测量的 SNR。在 UHF-BOX Boxcar 平均器中，可使用内置扫描工具轻松进行 Boxcar 窗口扫描；并能够用同一台仪器测量信号的波形和积分，无需复杂的实验系统。该策略的缺点是，由于需要丢弃每个周期的大部分数据，因此处理速度相对较慢，并且容易受到信号强度漂移的影响。

表 2 汇总了不同波形恢复工具的特性，并对其性能进行了相对定性的评估。

锁相放大器和 Boxcar 平均器采用不同的方法来测量周期性信号。Boxcar 平均器从信号的基频和多个谐波处捕获信息，而锁相放大器在单一频率下执行选择性测量。后者是将输入信号与典型的正弦参考信号相乘，然后进行可调低通滤波，从而实现信号测量。频谱响应、测量速度和时间响应取决于低通滤波器的带宽和阶数，详情可参考《锁相检测白皮书》。

在确定哪种测量方法更适合给定的实验时，需要重点考虑以下因素：

• 输入信号属于哪种波形？是正弦波、方波、周期性脉冲序列还是更复杂的波形？
• 输入信号的占空比是多少？
• 输入信号的 SNR 有多低？噪声有哪些特性？
• 采集速度和稳定时间有什么要求？

对于纯正弦输入信号，为了快速轻松地进行实验设置，通常首选锁相检测方法。在相同的测量带宽下，采用 Boxcar 测量方法，在 Boxcar 窗口优化和基线抑制的条件下，可获得稍高的 SNR。不过，与采用锁相测量相比，Boxcar 测量需要控制更多参数进行优化，而且由于需要更大的信号输入带宽来捕获高次谐波，Boxcar 平均器的价格也会更高。

对于方波或脉冲信号而言，采用 Boxcar 测量投入虽高，但颇有价值。输入信号的占空比越低，谐波中包含的信息就越多。Boxcar 平均器允许实验者通过缩减 Boxcar 窗宽来捕获这些信息，从而增加高次谐波的相对权重。不过，从高次谐波中捕获信息也会引入额外的噪声成分。总体而言，Boxcar 平均方法相比锁相检测方法是否具有真正优势，取决于噪声背景的特性。

图 6 (a) 以由白噪声和 1/f 噪声组成的典型实验噪声基底为例，显示了锁相放大器的一阶低通滤波器以基频 f_rep 为中心的频谱响应。在本例中，基频 f_rep 处的噪声以 1/f 噪声为主。锁相放大器会捕获大量噪声，使得此测量的 SNR 很低。图 6 (b) 显示了在相同噪声背景下，Boxcar 平均器在占空比 d = 0.05、取平均值的周期数 N = 20 条件下的频谱响应：通过从噪声较少的谐波中捕获信息，Boxcar 平均方法在该场景中的 SNR 明显更高。

此外，Boxcar 平均器能够在时域中定义参考窗口，可非常有效地避免由于噪声源相对于目标信号相移而导致的系统测量误差。同时可分离单个信号，适合测量泵浦诱导的效应等应用。

最后，滤波函数对于测量速度影响很大。以 f_rep = 10 MHz 的信号为例，采用 5 阶低通滤波器和 f_3dB = 34 kHz 的滤波带宽，要达到 99.9% 的稳定率，大约需要 26 us（有关计算，请参阅《锁相检测白皮书》）。而在带宽为 34 kHz（取平均值的周期数 N = 128）的条件下，Boxcar 平均器在 NT_rep = 12.8 us 之后即可达到 100% 的稳定率。这意味着，Boxcar 平均器用于高速显微镜等应用，可以更容易避免像素间串扰。

总体而言，锁相测量设置起来比较简单，对输入带宽和采样率的要求较低。Boxcar 平均测量需要速度更快的电子器件，并且需要对多个参数进行优化。虽然增加了复杂度，但对于低占空比脉冲信号而言，该测量方式能够提高 SNR 和测量速度，这些优势颇具价值。在制定测量策略时，最好对锁相放大器和 Boxcar 平均器进行一对一的比较。当然，用户也可以在瑞士苏黎世仪器公司的 UHFLI 锁相放大器上使用 UHF-BOX Boxcar 平均器选件，实现两全其美的测量。