락인 필터에 의한 주파수 영역 응답

March 19, 2019 by Mehdi Alem

소개

락인앰플리파이어의 응답은 로우패스 필터(LPF)의 매개변수, 즉 시간 상수 와 필터 차수에 의해 결정됩니다. LPF의 시간적 응답은 측정 지연시간을 나타내는 반면 스펙트럼 응답은 측정된 신호의 노이즈 특성을 나타냅니다. 블로그는 LabOne^®의 DAQ 모듈(이전 SW 트리거 )을 사용하여 복조 필터의 시간적 응답을 측정하는 방법을 설명합니다. 이번 블로그 게시물에서는 LabOne의 Sweeper 모듈을 사용하여 이러한 필터의 주파수 응답을 얻는 방법을 배우고 필터 차수와 시간 상수 측면에서 두 가지 유형의 필터 대역폭에 대한 분석 공식을 제시합니다.

이론적 배경

락인앰플리파이어의 \(n\)차 복조기 필터는 \(n\)개의 계단식 1차 로우 패스 필터로 구성됩니다. 따라서 필터의 주파수 응답은 1차 필터 응답의 \(n\)배 곱으로 구합니다. 시간 상수 \(\tau\)의 경우 \(n\)차 필터의 주파수 응답은 다음 식으로 제공됩니다.

\[H(\omega)=\frac{1}{(1+i\omega\tau)^n} \]

다음 그림은 \(\tau=69.23\ \mu s\) 및 최대 \(8\) 차수가 있는 로우 패스 필터의 주파수 응답을 선형 척도로 보여줍니다.

그림 1: 선형 스케일에서 1에서 8까지의 여러 필터 차수에서 고정 시간 상수를 갖는 로우 패스 필터의 주파수 응답.

이러한 필터의 경우 3dB 차단 대역폭과 NEP(잡음 등가 전력) 대역폭의 두 가지 대역폭을 정의할 수 있습니다. 시간 상수 \(\tau\) 및 필터 차수 \(n\)로 표현될 수 있습니다. 3dB 차단 대역폭 \(\omega_\text{3dB}\)은 필터 진폭이 아래 방정식에 따라 최대값보다 3dB 작은 주파수로 정의됩니다.

\[|H(\omega_\text{3dB})|^2=\frac{1}{2}\]

위의 식을 사용하여 Hz 단위의 \(n\)차 필터의 3dB 차단 대역폭은 \(\omega_\text{3dB}=2\pi f_\text{ 3dB}\).

\[f_\text{3dB}^{(n)}=\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{n}}-1}}{2\pi\tau},\ \ \ \ \ \ \ \ n=1,\ 2,\ 3,...\]

반면에 NEP 대역폭 \(\omega_\text{NEP}\)은 동일한 전력을 갖는 해당 직사각형 필터의 대역폭으로 정의됩니다. 따라서 정규화된 \(H(\omega)\)의 NEP 대역폭은 다음과 같이 구합니다.

\[\omega_\text{NEP} = \int_{0}^{\infty}{|H(\omega)|^2 d\omega}\]

NEP 대역폭은 단순한 관계식 \(\omega_\text{NEP}=2\pi f_\text{NEP}\)를 사용하여 rad/s 대신 Hz로 표현할 수 있습니다. 위의 식은 \(n\)차 필터의 NEP 대역폭에 대해 다음과 같은 재귀 관계를 나타냅니다.

\[\begin{align} &f_\text{NEP}^{(n+1)} = \frac{2n-1}{2n}f_\text{NEP}^{(n)}, \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,\ 2,\ 3,... \\ &f_\text{NEP}^{(1)} =\frac{1}{4\tau} \end{align}\]

위의 재귀 관계를 풀면 다음과 같이 \(n\)차 필터의 NEP 대역폭에 대한 명시적 공식을 얻을 수 있습니다.

\[ f_\text{NEP}^{(n)} = \frac{(2(n-1))!}{(2^n (n-1)!)^2} \frac{1}{\ tau}, \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,\ 2,\ 3,...\]

다음 표는 취리히인스트루먼트 에서 만든 락인앰플리파이어 복조에 사용되는 역시정수 \(1/\tau\)로 표현되는 8차까지의 로우 패스 필터의 3dB 및 NEP 대역폭을 보여줍니다.

\(\ N\)	\(\ 1\)	\(\ 2\)	\(\ 삼\)	\(\ 4\)	\(\ 5\)	\(\ 6\)	\(\ 7\)	\(\ 8\)
\(f_\text{3dB}^{(n)}\ \ \ \ (1/\tau)\)	\(\ 0.1592\)	\(\ 0.1024\)	\(\ 0.0811\)	\(\ 0.0692\)	\(\ 0.0614\)	\(\ 0.0557\)	\(\ 0.0513\)	\(\ 0.0479\)
\(f_\text{NEP}^{(n)}\ \ \ (1/\tau)\)	\(\ 0.2500\)	\(\ 0.1250\)	\(\ 0.0938\)	\(\ 0.0781\)	\(\ 0.0684\)	\(\ 0.0615\)	\(\ 0.0564\)	\(\ 0.0524\)

위의 표를 사용하면 s 단위의 필터 시간 상수 \(\tau\)를 기반으로 \(n\)차 LPF의 3dB 및 NEP 대역폭을 Hz 단위로 쉽게 계산할 수 있습니다. 또한 NEP 대역폭이 3dB 대역폭보다 크고 필터 차수가 증가함에 따라 두 대역폭이 함께 병합된다는 것도 분명합니다.

실험 측정

이 섹션에서는 LabOne의 Sweeper 모듈을 사용하여 락인앰플리파이어에서 로우 패스 필터의 주파수 응답을 측정하는 방법을 배웁니다. 이 기술의 아이디어는 신호 입력에 고정 주파수를 적용하고 구동 주파수 부근에서 복조기의 주파수를 스위프하는 것입니다. 스위퍼 모듈은 모든 제품 에서 사용할 수 있으므로 취리히인스트루먼트 에서 만든 모든 락인 앰플리파이어로 이 측정을 수행할 수 있습니다. 이 측정에서는 MF-MD 다중 복조 옵션이 장착된 5MHz MFLI 잠금 증폭기를 사용하여 락인 필터의 주파수 응답을 얻습니다. 그림 2는 기기와 스위퍼 모듈의 적절한 설정을 보여줍니다. 1MHz의 신호는 신호 출력의 발진기 2에서 생성되고 신호 입력으로 루프백됩니다. 발진기 1의 주파수는 스위퍼 도구에 의해 1MHz 부근에서 스위프되고 입력 신호의 진폭이 측정됩니다. 필터 시간 상수는 \(\tau=69.23\ \mu s\)로 고정되며 각 측정은 1에서 8까지의 필터 차수에 대해 수행됩니다.

그림 2: 기기 및 스위퍼의 적절한 설정과 1에서 8까지의 필터 차수에 대한 8개의 측정된 필터 응답. (확대하려면 클릭)

그림 2는 시간 상수는 같지만 필터 차수가 다른 8개 필터의 측정된 주파수 응답을 보여줍니다. 그림 2의 측정값은 그림 1의 이론적 결과와 유사해 보입니다. 이를 확인하기 위해 측정된 응답과 분석 곡선을 모두 로그 눈금으로 표시할 수 있습니다. 그림 3은 이론과 실험이 완벽하게 일치함을 나타내는 분석 공식에서 측정되고 계산된 필터 응답을 나타냅니다.

그림 3: 이론 및 측정으로 얻은 8차에 대한 복조 필터의 주파수 응답. 차수가 1에서 8로 증가함에 따라 필터 슬로프는 -6에서 -48dB/octave 로 감소합니다.

그림 3에서 주어진 시간 상수 \(\tau\)에 대해 3dB 대역폭과 NEP 대역폭이 필터 차수를 증가시키면 감소한다는 것이 분명합니다. 또한 필터 차수가 증가함에 따라 필터 응답이 더 날카로워집니다. 적절한 측정 구성을 설정할 때 이러한 특성을 염두에 두어야 합니다. 잠금 측정에 대한 자세한 내용은 락인 디텍션 에 대한 백서 를 참조하십시오.

결론

이 블로그 게시물에서는 3dB 및 NEP 대역폭에 대한 두 가지 분석 공식이 필터 차수와 시간 상수 측면에서 제공되며 또한 필터 응답을 측정하는 기술을 보여줍니다. LabOne의 스위퍼 모듈을 사용하여 락인앰플리파이어에 배치된 로우 패스 필터의 주파수 응답을 얻습니다.