利用锁相放大器和MFITF夹具测量电阻的热噪声电压

现代物理学中有一个经典的实验，即测量电阻上的热噪声电压，首次测量是由John B. Johnson于1926年在贝尔实验室中首次完成^[1][2]，并由 Harry Nyquist完成理论解释，因此热噪声又被称为Johnson噪声或者Johnson-Nyquist噪声^[3]。其本质来自于载流子的无规则热运动，这一实验也可以用作对于玻尔兹曼常量的计算，本实验将对于纯电阻器件进行测量其热噪声电压，并给出测量建议。

测量背景

载流子的随机热运动会产生噪声电流，进而在电阻上产生噪声电压\(v_N\)。在低频条件下 \(\hbar\omega\ll k_{B}T\) 使得\(\frac{\hbar\omega}{e^{\frac{\hbar w}{k_BT}-1}}\cong k_BT\)，即电阻器上吸收的辐射能量为 \(k_BT\)，其中 \(T\) 为环境温度。当测量电路达到热平衡的时候，我们将电路简化为两个等值电阻的串联模型，则可以得到 \(\frac{\bar{{v_N}^2}}{4R}=k_BT\Delta f\)，即 \(\bar{{v_N}^2}=4k_BTR\Delta f\)，可以理解为待测电阻上吸收和发射的功率相等，吸收的功率等效为带宽为 \(\Delta f\)的电磁波功率。从噪声的角度来说，可以等效为\(\Delta f\)的噪声等效带宽下的电磁波平均功率，并且理论上与测量频率无关。

然而，精确地测量热噪声通常是有一定难度的，这是因为一方面从源头上屏蔽某一类噪声是有困难的，另一方面各类噪声通常覆盖很广的频域，很难直观判断非相干的噪声成分。在使用电子仪器进行测量噪声的过程中通常会测到\(1/f\) 噪声，各类非相干噪声（例如散粒噪声），仪器的本底噪声等等。所以我们需要先对实验条件进行设计然后开展实验。

测量条件

我们需要对实验条件进行一些设计，尽可能减小非热噪声带来的影响。首先，频率范围需要避开\(1/f\)噪声，MFLI的转折频率在 100 Hz 左右，因此，我们选取 1 kHz 作为振荡器频率进行解调。第二，我们需要了解仪器的本底输入噪声水平，对于MFLI来说，用户可以参考说明书的 5.2 章 Performance Diagrams 中电压输入噪声谱密度。

也可以利用一个短接帽短接电压输入端并使用 Sweeper 模块的 Noise Amplitude Sweep 模式在最小的电压输入量程  1 mV 进行频响曲线的扫描。

最后，我们还需要一个合适的电阻作为测试样本。虽然我们提到噪声电压理论上与测量频率无关，但是前文已经提到了在低频段 \(1/f\)噪声会影响噪声电压的测量，因此需要一个大于100 Hz的测量频率。此外，我们需要一个较大的电阻提高噪声电压的幅值便于与本底噪声区分，但也不能使用一个太大的电阻作为样本，这是因为电阻会与输入端的约40 pF的电容构成一个外置的低通滤波器，其截止频率 \(f_{cutoff}\)很容易通过 \(f_{cutoff}=\frac{1}{2\pi RC}\) 计算；同时，笔者测量了四个不同的电阻，分别为1 kΩ（红），10 kΩ（绿），100 kΩ（橙）以及1 MΩ（蓝）四条曲线，验证这一情况，当电阻为1 MΩ时，如图3所示，通过参数扫描仪测量得到的数据显示频率在 3.9 kHz附近处衰减了约3 dB，与理论值接近，并且符合电阻阻值越大，噪声电压越大，但截至频率越低的趋势。综合以上的情况，使用MFLI或者MFIA进行测试的时候，建议使用100 kΩ - 1 MΩ 这一范围的电阻元件。

实施实验

为了方便实验地进行并且尽可能的减小额外的噪声，笔者使用了 MFIA (或MF-IA选件)的配套夹具 MFITF 作为测试夹具，手里有MFITF的用户可以参考阻抗分析仪的阻抗元件连接方法进行测量。若没有MFITF夹具，也可以将阻抗元件短接至单端输入或者双端差分输入接到 +V 与 -V 。在使用 MFITF 的情况下，电阻两端的噪声电压通过差分输入口测量，因此需要开启 Diff 输入开关，并将量程改到 1mV ，这是为了在最低的仪器本底噪声背景下进行测量。另一个参数就是噪声等效带宽的设置，为了方便计算，我们将其设置到 1 Hz，则测量到的电压数据直接归一化为噪声电压谱密度。设置的参数可以参考 LabOne 的截图。

随后我们就进入绘图仪开始进行测量，通常我们需要对解调值 X 或者 Y 的数据进行一定时间的采集，随后计算其标准差。而绘图仪当中直接提供Math工具集，可以帮助您减少工作量，您只需要在Math标签中选择Plot area或者Cursor area，随后点击Add all 或者点击Add 添加Std Deviation 即可查看一段时间内的标准差。通过计算，我们已知 1 MΩ 的电阻的理论热噪声为：
\(NSD = \sqrt{4k_BTR/NEPBW}= \sqrt{4\ast1.38\ast10^{-23} \ast 290\ast10^6/1} \space (V/\sqrt{Hz} ) = 126.5 \space nV/\sqrt{Hz}\)
而通过测量得到的结果为\(129.1 nV/\sqrt{Hz}\) ，提出本底噪声得到结果为\(129.07 \space nV/\sqrt{Hz}\)这个测量结果与理论结果相差2%，不失为一种简单快速的噪声电压测量手段。
 

特别致谢：本文特别致谢中国科学技术大学的王中平老师与笔者的同事 Liu Fei 博士提供的灵感与技术探讨。

参考资料

[1]Anonymous (1927). "Minutes of the Philadelphia Meeting December 28, 29, 30, 1926". Physical Review. 29 (2): 350–373. Bibcode:1927PhRv...29..350.. doi:10.1103/PhysRev.29.350

[2]Johnson, J. (1928). "Thermal Agitation of Electricity in Conductors". Physical Review. 32 (97): 97–109. Bibcode:1928PhRv...32...97J. doi:10.1103/physrev.32.97

[3]Nyquist, H. (1928). "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors". Physical Review. 32 (110): 110–113. Bibcode:1928PhRv...32..110N. doi:10.1103/physrev.32.110