락인앰프로 측정한 잡음 스펙트럼 밀도
소개
적절한 잡음 특성화는 많은 응용기술에서 특히 나노 기술, 광자학 및 양자 물리학과 같이 잡음에 묻혀 있는 작은 신호를 처리할 때 필수적입니다. 시스템의 잡음 특성은 진폭 모드에서는 잡음 스펙트럼 밀도로 불리우며 \(\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}\)로 표현되고, 전력모드에서는 전력 스펙트럼 밀도(PSD)로 표현되며 관심 주파수 범위 내에서 \(\text{V}^2/\text{Hz}\)로 표시됩니다. 시스템의 잡음을 높은 정확도와 정밀도로 측정하는 것이 중요합니다. 그렇지 않으면 시스템 설계가 잘못되거나 시스템 동작이 잘못 추정될 수 있기 때문입니다. 취리히인스트루먼트 의 락인앰플리파이어 는 잡음 측정을 위한 내장 소프트웨어 도구뿐만 아니라 하드웨어 자체의 극히 낮은 잡음 덕분에 잡음 특성화에 대한 간단하고 효율적인 접근 방식을 제공합니다. LabOne 기기 제어 및 데이터 취득 소프트웨어는 잡음 스펙트럼 측정을 위한 세 가지 방법을 제공합니다.
- 오실로스코프 FFT
- 스펙트럼 분석기
- 주파수 스위퍼
LabOne의 스코프 모듈에 내장된 FFT 도구는 신호에 복조를 적용하기 전에 입력 신호의 스펙트럼을 계산합니다. 대조적으로, LabOne의 스펙트럼 분석기 도구는 복조 후 수집된 신호의 푸리에 변환을 얻습니다. Scope FFT는 넓은 주파수 범위를 제공하며 스펙트럼 분석기 는 매우 높은 주파수 분해능을 제공합니다. 두 접근 방식 모두 FFT 알고리즘을 사용하여 신호 스펙트럼을 계산합니다. 따라서 스펙트럼 누출, 제한된 수의 신호 점 등과 같은 FFT 계산의 단점을 겪을 수 있습니다.
스코프 및 스펙트럼 도구와 달리 LabOne의 스위퍼 모듈은 FFT 연산을 적용하지 않고 신호의 스펙트럼 성분을 직접 측정합니다. 이 접근 방식은 FFT 알고리즘으로 인해 결과를 오염시킬 수 있는 모든 계산과정의 아티팩트를 방지하며 스코프와 스펙트럼 도구의 장점을 함께 제공합니다. 즉, 높은 주파수 분해능과 넓은 주파수 범위를 제공합니다. 다만 다른 두 가지 방법에 비해 스위퍼 기술은 측정 시간이 더 오래 걸립니다. 정확하고 정밀한 잡음 특성화가 필요한 응용기술 에서는 LabOne의 스위퍼 모듈이 완벽한 선택입니다. 그러나 필요한 주파수 범위 및 분해능에 따라 스코프 FFT 또는 스펙트럼 분석기 로 대략적이지만 빠른 잡음 측정을 수행할 수 있습니다.
이 블로그 게시물의 초점은 잡음 스펙트럼 측정에 대한 주파수 스위퍼 접근 방식입니다. 다음 섹션에서는 락인 앰플리파이어에서 잡음 측정의 수학적 배경을 분석하고 장비 입력의 잡음을 락인 디텍션 얻은 복조된 구성 요소와 관련시키는 방법을 분석합니다. 마지막 섹션은 MFLI 락인 앰플리파이어의 주파수 스위퍼를 사용한 잡음 측정의 실습 실험에 전념합니다.
수학적 배경
이 섹션에서는 잡음 측정을 위한 스위퍼 접근 방식에 대한 이론을 논의합니다. 이 분석이 끝나면 락인 앰플리파이어에 의해 측정된 기저대역 신호 성분에서 락인 앰플리파이어 입력의 대역통과 잡음을 얻는 방법을 명확하게 이해할 수 있습니다.
잡음 표현
\(n(t)\)가 측정하려는 잡음라고 가정합니다. 이 잡음의 소스는 락인 앰플리파이어의 입력에 연결된 DUT(테스트 대상 장치) 또는 입력 포트가 단락 캡으로 접지된 경우 계측기의 입력 잡음일 수 있습니다.락인 앰플리파이어를 사용하여 특정 주파수에서 잡음 성분을 측정할 수 있으며 스위퍼는 전체 잡음 스펙트럼을 얻기 위해 측정 주파수를 변경합니다. \(n_\omega(t)\)가 주파수 \(\omega\)의 잡음 성분이라고 가정합니다. 따라서 진폭과 위상이 랜덤 변수인 정현파 신호로 작성할 수 있습니다. \[n_\omega(t)=\sqrt{2}R \sin(\omega t+\theta)\] 여기서 \(R\)은 RMS(제곱 평균 제곱근) 진폭 잡음이고 \(\theta\) 주파수 \(\omega\)에서의 위상 잡음입니다. 수치 계수 \(\sqrt{2}\)는 관례에 따라 피크 값 대신 RMS의 진폭을 나타내는 데 사용됩니다. 이중 위상 고정 증폭기는 위의 식을 확장하여 얻을 수 있는 동위상 성분 \(X\) 및 직교 성분 \(Y\)을 다음과 같이 측정합니다. \[n_\omega(t)=\sqrt{2} X \sin(\omega t) + \sqrt{2} Y \cos(\omega t)\] 여기서 \[X= R\cos(\theta)\, Y=R\sin(\theta)\] 잡음 성분 \(X\) 및 \(Y\)는 평균 가우스(정규) 분포가 0인 독립 확률 변수입니다. 진폭 \(R\) 및 위상 \(\theta\)은 각각 Rayleigh 및 균일 분포 변수입니다(해당 블로그 참조). 다음으로, 주파수 \(\omega\)에서 측정된 성분 \(X\) 및 \(Y\)가 이 주파수에서 잡음 전력과 어떻게 관련될 수 있는지 볼 것입니다.
잡음 파워
주파수 \(\omega\)에서 잡음의 순시 전력은 잡음 신호 \(n_\omega(t)\)를 다음과 같이 제곱하여 구합니다. \[p_\omega(t) = n_\omega^2(t) = 2R^2 \sin^2(\omega t+\theta) \] 또는 주파수 \(\omega\)에서의 잡음 전력은 잡음의 동위상 및 직교 표현 측면에서 다음 식과 같이 나타 낼 수 있습니다 . \[p_\omega(t) = 2X^2 \sin^2(\omega t) + 2Y^2 \cos^2(\omega t) + 2XY\sin(2\omega t)\] 시간 평균 주파수 \(\omega\)에서의 잡음 전력은 아래 계산된 바와 같이 하나 또는 여러 주기 \(T=2\pi/\omega\)에 대한 순시 잡음 전력의 시간 평균을 취하여 얻습니다. \[P_\omega = \frac{1}{T}\int_{T}{p_\omega(t)\ dt}\] 시간 평균은 기본적으로 호모다인 혼합 및 로우 패스 필터링을 포함하는 복조에 의해 수행됩니다. 위의 방정식에 \(p_\omega(t)\)를 대입하면 신호 진폭 \(R\) 그리고 직교 성분 \(X\) 및 \(Y\) 측면에서 주파수 \(\omega\)에서 다음과 같은 평균 잡음 전력을 얻을 수 있습니다. \[P_\omega = R^2 = X^2 + Y^2\] 신호 성분은 랜덤 변수이므로 최종 잡음 전력을 얻기 위해 시간 평균 전력의 앙상블 평균을 취해야 합니다. 특정 주파수에서. 잡음 전력을 얻기 위해 수학적 평균 연산 \(\mathbb{E}\)으로 앙상블 평균을 표현하면 다음과 같습니다. \[P_n =\mathbb{E}\{ P_\omega \} = \mathbb{E}\{R^2\} = \mathbb{E}\{X^2\} + \mathbb{E}\{ Y^2 \}\] 동위상 및 구적 구성 요소는 평균 0의 확률 변수이므로 두 번째 모멘트는 분산, 즉 각각 \(\sigma_X^2\) 및 \(\sigma_Y^2\)로 대체될 수 있습니다. 그러나 진폭 성분 \(R\)은 두 번째 모멘트에 기여하는 0이 아닌 평균 \(\mu_R\)을 갖습니다. 이는 다음과 같이 요약될 수 있습니다. \[P_n =\mu_R^2 + \sigma_R^2 =\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 \] 진폭 잡음의 평균과 분산 모두 잡음 파워에 기여한다는 점에 유의해야 합니다. 사람들은 종종 분산만 측정하고 평균값은 잊어버립니다. 그 결과 잡음 스펙트럼이 부정확하게 작아집니다. 따라서 잡음 특성화를 위해 진폭 성분 \(R\) 대신에 항상 구적 성분 \(X\) 및 \(Y\)를 사용해야 합니다. 이와 관련된 자세한 내용은 블로그 참조.
잡음 스펙트럼
잡음 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 잡음 주파수 주변의 대역통과 필터의 잡음 등가 전력(NEP) 대역폭인 측정 대역폭으로 잡음 전력을 나누어 구합니다. 그러나 락인 앰플리파이어는 측정을 위해 NEP 대역폭 \(B\)을 가진 로우 패스 필터(LPF)를 사용합니다. 해당 대역 통과 필터(이중 측파대)의 등가 대역폭은 [1]에서 설명한 대로 LPF 대역폭의 두 배, 즉 \(W=2B\)입니다. 따라서 \(\text{V}^2/\text{Hz}\)로 표현되는 잡음 전력 스펙트럼 밀도 \(S_n\)는 다음과 같이 얻어진다. \[S_n = \frac{P_n}{W} = \frac{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}{2B} = \frac{1}{2}\bigg(\frac{\sigma_X^2}{ B} + \frac{\sigma_Y^2}{B}\bigg) = \frac{1}{2}(S_X + S_Y)\] 여기서 \(S_X\) 및 \(S_Y\)는 각각 잡음의 \(X\) 및 \(Y\) 구성요소 PSD입니다. 우리의 목표는 장비의 입력에서 잡음 스펙트럼 밀도를, \(S_n\), 측정하는 것입니다. 그러나 락인 앰플리파이어는 잡음의 동위상 및 직교 성분, 즉 \(S_X\) 및 \(S_Y\)의 스펙트럼 밀도를 측정할 수 있습니다. 위의 방정식은 단순히 최종 잡음 스펙트럼을 얻기 위해 신호 성분의 잡음 스펙트럼의 평균을 취해야 한다고 말합니다.
거의 모든 응용기술 에서 동위상 및 직교 성분은 동일한 잡음 전력을 가지므로 신호 성분 중 하나를 간단히 측정할 수 있습니다(예: \(S_n=S_X=S_Y\)). 구적 구성 요소가 다른 잡음 레벨을 갖는 압축된 빛의 상태를 측정하는 것과 같은 일부 드문 응용기술 에서는 잡음 스펙트럼의 평균을 취하는 것이 중요합니다.
주목해야 할 또 다른 중요한 점은 \(\text{V}^2/\text{Hz}\)로 표현된 전력 스펙트럼 밀도를 평균화해야 하며 \(\text {V}/\sqrt{\text{Hz}}\). 그렇지 않으면 최종 스펙트럼이 실제 스펙트럼보다 약간 작을 것입니다. 진폭 스펙트럼 밀도는 단순히 전력 스펙트럼 밀도의 제곱근을 취하여 얻습니다.
주파수 스위퍼
LabOne의 Sweeper 모듈은 장치 매개변수(이 경우 발진기 주파수)를 스위프한 다음 각 매개변수 값에 대한 신호 취득 을 수행하여 측정된 신호의 스펙트럼을 얻을 수 있습니다. 신호 주파수에 따라 스위퍼는 자동으로 측정 대역폭을 조정하여 측정 정확도와 속도 사이의 균형을 유지합니다. 이전 섹션에서 설명했듯이 락인앰플리파이어 의한 잡음 측정의 핵심은 \(R\) 대신 동상 및 직교 성분 \(X\) 및/또는 \(Y\)를 획득하는 것입니다.
잡음 특성화의 첫 번째 단계로 락인 앰플리파이어의 입력 잡음을 얻어야 합니다. 블로그 에 설명된 대로 단락 캡을 부착해야 합니다. 신호 경로를 접지하기 위해 장비의 입력 포트에 연결한 다음 그림 1과 같이 최적의 잡음 측정을 수행하기 위해 스위퍼 모듈의 설정을 조정해야 합니다.
우선 스위퍼는 복조된 신호의 동위상 및 직교 성분을 구독해야 합니다. 그런 다음 '응용' 모드를 '잡음 진폭 스위프'으로 설정해야 합니다. 이 모드는 '고급' 모드의 설정을 최적화하여 정확한 잡음 측정을 수행합니다. 특히, 'Spectral Density' 버튼을 사용하여 측정된 신호를 복조 LPF의 NEP(잡음 등가 전력) 대역폭으로 나눌 수 있습니다. 또한 통계적 계산을 위해 'Standard Deviation' 알고리즘을 활용하여 잡음 전력을 구합니다. 그림 2는 3가지 다른 입력 범위, 즉 1mV, 30mV, 100mV에 대한 MFLI의 입력 잡음을 보여줍니다. 동위상 및 구적 구성 요소는 동일한 잡음 레벨을 갖기 때문에 여기에서는 위에서 설명한 대로 잡음 스펙트럼 밀도 \(\sqrt{S_n}\)를 얻기 위해 \(\sqrt{S_X}\)만 측정하는 것으로 충분합니다.
그림 2는 계측기의 입력 범위를 확장하면 입력 잡음가 증가함을 명확하게 보여줍니다. 이는 입력 신호의 전체 스윙을 포함하는 최소 입력 범위를 항상 사용해야 함을 나타냅니다. 이를 위해 락인 앰플리파이어에는 신호 또는 잡음 레벨에 따라 입력 범위를 최적화하는 '자동 범위' 기능이 탑재되어 있습니다. MFLI의 가장 낮은 입력 잡음 플로어는 약 \(2.5\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\)입니다. 그러나 더 낮은 잡음 레벨을 달성하기 위해 애플리케이션 노트 에서 설명한 것처럼 상호 상관 기술의 이점을 얻을 수 있습니다. 또한 그림 2에서 두 가지 유형의 잡음을 구별할 수 있습니다. 코너 포인트 아래의 저주파에서 핑크 또는 1/f 잡음과 코너 포인트 위의 고주파에 대한 화이트 또는 플랫 잡음입니다.
열 잡음
락인앰플리파이어 를 사용하여 잡음 스펙트럼 밀도 측정의 정확성과 정밀도를 확인하기 위해 레지스터의 잡음를 얻고 이를 다음 식 [2]로 표현되는 이론적인 열 잡음와 비교할 수 있습니다. \[S_n = 4k_\text {B} TR\] 여기서 \(T\)는 저항의 절대 온도이고 \(R\)은 저항입니다. \(k_\text{B}\)는 볼츠만 상수를 나타냅니다. 실온에서 2.2kΩ 저항의 경우 잡음 스펙트럼 밀도 \(\sqrt{S_n}\)는 약 \(6\) ~ \(7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\)입니다. 그림 3은 1kHz ~ 100kHz의 주파수 범위 내에서 MFLI로 측정한 이러한 레지스터의 잡음 스펙트럼 밀도를 보여줍니다.
10의 2제곱에 해당하는 주파수 범위 내에서 측정된 스펙트럼의 평탄도는 취리히인스트루먼트의 락인앰플리파이어 의 주파수 스위퍼에 의해 정확하고 정밀하게 측정된 백색 열 잡음의 명확한 표시입니다. 레지스터의 두 와이어 리드는 MFLI 신호 입력의 BNC 포트의 코어와 실드에 직접 연결되며 구동 신호가 필요하지 않습니다. 또한 기기의 입력 임피던스는 높은 값(이 경우 10MΩ)으로 설정해야 합니다. 그렇지 않으면 장치의 낮은 입력 임피던스로 인해 측정 결과가 왜곡됩니다.
결론
이 포스트는 높은 정확도와 정밀도, 넓은 주파수 범위 및 분해능과 같은 장점 때문에 주파수 스위프 접근 방식에 중점을 두고 락인 앰플리파이어를 사용하여 잡음 스펙트럼 밀도를 측정하는 방법에 중점을 둡니다. 수학적 분석은 복조된 신호 구성 요소에 락인 앰플리파이어 입력 잡음을 연관시킵니다. 마지막으로 실제 실험에서 MFLI로 저항의 열 잡음을 측정하여 이론의 예상 값과 잘 일치함을 보여줍니다.
참고문헌
- John G. Proakis 및 Masoud Salehi, 디지털 커뮤니케이션 . 5판, McGraw-Hill, 2008.
- Wikipedia: Johnson–Nyquist 노이즈